Согласно Российскому законодательству, каждый, пребывающий на территории России, должен иметь регистрацию ( место жительства). Это относится не только к гражданам нашей страны, но и к иностранцам, лицам с двойным гражданством, лицам без гражданства, законно находящимся на территории Россйской Федерации. КоАП предусатривает административную ответственность за невыполнение данных требований. Поэтому регистрироваться надо.

В соответствиями с правилами ст.3 Закона РФ " О ПРАВЕ ГРАЖДАН РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НА СВОБОДУ ПЕРЕДВИЖЕНИЯ, ВЫБОР МЕСТА ПРЕБЫВАНИЯ И ЖИТЕЛЬСТВА В ПРЕДЕЛАХ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ" регистрация граждан по месту жительства и месту пребывания производится бесплатно.

Гражданин Российской Федерации, изменивший место жительства, обязан не позднее семи дней со дня прибытия на новое место жительства обратиться к должностному лицу, ответственному за регистрацию, с заявлением по установленной форме. При этом предъявляются:

1. паспорт или иной документ, удостоверяющий личность
2. договор найма жилого помещения ( в нашем случае)

В течение трех дней территориальный орган Федеральной Регистрационной Службы( "паспортный стол", например по району, где вы регистрируетесь)обязан вас зарегистрировать.

Так что, можно всего лишь на основании договора и паспорта зарегистрироваться и на съемной квартире. Успехов!